第8课时 相似三角形的性质 (1)
【学习目标】
1、探索相似三角形、相似多边形的性质,会运用相似三角形、相似多边形的性质解决有关问题.
2、通过实践与探索,得到相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系,运用类比的方法得出相似多边形的周长比及面积比与相似比的关系.
3、经历“探索—发现—猜想”,通过实际问题的研究,提高分析问题、解决问题的能力;
4、通过实际问题的研究,发展从数学角度提出问题,解决问题的能力,增强用数学的意识.
【学习重点】相似三角形(多边形)的周长比及面积比与相似比的关系.
【学习难点】相似三角形(多边形)的面积比等于相似比的平方.
【学法指导】探索、合作、交流
一、【前置学习】
1.若△abc与△相似,已知△abc的三边的长分别为3、4、5,△的最长边的长为15,则△最短边的长为 。
2.若四边形abcd∽四边形,求∠α∠β的大小和ad的长。
3.如图,△abc∽△ade,ad=4,ab=10,be=2
其相似比为 ,ac=
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二、【合作释疑】
(一)、情境创设:
情境1:在比例尺为1︰500的地图上,测得一个三角形地块abc的周长为12cm,面积为6cm2,求这个地块的实际周长及面积。
问题1. 在这个情境中,地图上的三角形地块与实际地块是什么关系? 1︰500表示什么含义?
问题2. 要解决这个问题,需要什么知识?
问题3. 在没有了解这些知识前,你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗?
问题4. 如何说明你的猜想是否正确呢?
(二)、探索活动:
(课本p101)章头图图(3)和图(4)中的相似多边形。
1、问题1. 你能通过操作、观察、归纳、思考发现这两个相似多边形的周长比与它们的相似比的关系吗?
问题2. 方格纸中的相似多边形的周长比与相似比是相等的,那么其它的相似形呢?比如相似三角形呢?
2、若△abc∽△a′b′′c,那么△abc与△a′b′c′的周长比等于相似比吗?
问题1. 为了解决这个问题,不妨设这个相似比为k,只要考虑什么就可以了?
问题2. 相似比为k,那么哪些线段的比也等于k?
问题3. 这两个三角形的周长又分别与哪些线段有关?
问题4. 如何得出这两个三角形的周长比与相似比k的关系?
得出:相似三角形的周长比等于相似比。
问题5. 你能运用类似的方法说明“相似多边形的周长等于相似比吗?”
得出:相似多边形的周长等于相似比
3、若△abc∽△a′b′c′,那么△abc与△a′b′c′的面积比与相似比又有什么关系呢?
问题1. 有了前面探究的经验,你能想到一个合理的方法来研究这个问题吗?
问题2. 若ad与a′d′是这两个三角形的高,你知道ad与a′d′的比与相似比k的关系吗?能说明理由吗?
问题3. 你能说明这两个三角形面积比与相似比的关系吗?
得出:相似三角形的面积比等于相似比的平方
问题4:你能类似地得出相似多边形的面积比与相似比的关系吗?得出:相似多边形的面积比等于相似比的平方。
三、【交流展示】
活动1:
(1)若△abc∽△def,相似比为2:3,则周长比为 ,面积比为
(2)相似三角形的周长比值为2,则相似比为 ,面积比为
(3)若△abc∽△,且s△abc:s△a'b'c'=3,则相似比为 ,周长比为
活动2: 在比例尺为1:500的地图上,测得一个三角形地块abc的周长为12cm,面积为6 cm2,求这个地块的实际周长和面积。
活动3、如图,已知以点a、d、e为顶点的三角形与△abc相似,且ad=3,de=2.5,ac=6,∠aeb=∠b,求⊿abc周长。
活动4:如图,在△abc中,点d,e分别在ab,ac上,de平行于bc,ad:db=3:2,求四边形dbce与△ade的面积比。
四、【拓展提升】
在△abc中,de∥fg∥bc,ad:df:fb=1:2:3,
则 .
五、【巩固测评】
1.相似三角形对应边的比值为0.4,那么相似比为 , 周长的比为 ,
面积的比为 。
2.一个三角形的三边之比为2︰3︰4,和它相似的另一个三角形的最大边为16,则它的最小边的长是_____ ,周长是_____。
3.若△abc与△a′b′c,且∠a=450,∠b=300,则∠c/=____。
4.两个相似多边形的面积之比为1︰4,周长之差为6,则两个相似多边形的周长分别是______。
5.如图在平行四边形abcd中,ae:ab=1:2 (1) △ aef与△ cdf的周长之比______
(2)若△ aef的面积为8,则△ cdf的面积_____
6.如图,在△abc中,bc>ac,点d在bc上,且dc=ac,∠acb的平分线cf交ad于f,点e是ab的中点,连接ef。
(1) 求证:ef∥bc;
(2) 若四边形bdfe的面积为6,求⊿abd的面积。
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六、【课后固学】
a组题:
1. △abc∽△,相似比是3∶4,△abc的周长是27 cm,则△的周长为____.
2.两个相似多边形对应边的比为3∶2,小多边形面积为32 cm2,那么大多边形的面积为____.
3.若两个三角形相似,且它们的最大边分别为6 cm和8 cm,它们的周长之和为35 cm,则较小的三角形的周长为________.
4.在矩形abcd中,e、f分别为ab、cd的中点,如果矩形abcd∽矩形bcfe,那么ad∶ab=________,相似比是________,面积比是________.
5.△abc∽△a′b′c′,相似比是2∶3,那么△a′b′c′与△abc面积的比是 ( )
a.4∶9b.9∶4 c.2∶3 d.3∶2
6.在△abc中,de∥bc,交ab于d,交ac于e,且ad∶db=1∶2,则下列结论正确的是…………………………………………………………………………………………..( )
a. = b. = c. = d. =
7.如图,abcd中,ae∶ed=1∶2,s△aef=6 cm2,则s△cbf等于………………….( )
a.12 cm2b.24 cm2
c.54 cm2d.15 cm2
b组题:
8.在比例尺为1∶50000的地图上,一块多边形地区的周长是72 cm,多边形的两个顶点a、b之间的距离是25 cm,求这个地区的实际边界长和a、b两地之间的实际距离.
9.已知:△abc∽△,它们的周长之差为20,面积比为4∶1,求△abc和△△的周长.
10. △ade∽△abc。
(1)若ad=3cm,ae=2cm,de=1.6cm,ac=6cm,求bc、bd的长。
(2)若△ade的面积为8cm2,梯形dbce的面积为24cm2.求ad与bd的比值.
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c组题:
11.如图,梯形abcd中,ab∥cd,ac、bd交于e,
若s△dce∶s△dcb=1∶3,求s△dce∶s△abd.